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空集的概念和子集的概念

2021-02-28 14:56:23文/陳宇航

空集的概念和子集的概念

一、空集的概念和子集的概念

1、子集:一般地,對于兩個集合$A$,$B$,如果集合$A$中任意一個元素都是集合$B$中的元素,我們就說這兩個集合有包含關系,稱集合$A$為集合$B$的子集,記作$A\subseteq B$(或$B\supseteq A$),讀作“$A$含于$B$”(或“$B$包含$A$”)。

2、真子集:如果集合$A\subseteq B$,但存在元素,$x∈B$,且$x\notin A$,我們稱集合$A$是集合$B$的真子集,記作$A\subsetneqq B$(或$B\supsetneqq, A$)。

3、空集:不含任何元素的集合叫空集,記為$\varnothing$??占侨魏渭系淖蛹?,任何一個集合是它本身的子集,空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等:如果集合$A$是集合$B$的子集($A\subseteq B$),且集合$B$是集合$A$的子集($B\subseteq A$),此時,集合$A$與集合$B$中的元素是一樣的,因此,集合$A$與集合$B$相等,記作$A=B$。

5、集合子集的個數

(1)若集合$A$中有$n$個元素,則集合$A$有$2^n$個子集,$2^n-1$個真子集,$2^n-1$個非空子集,$2^n-2$個非空真子集。

(2)若集合$A$含有$n(n≥1)$個元素,集合$C$含有$m(m≥1)$個元素$(m≥n)$,且$A\subseteq B\subseteq C$,則符合條件的集合$B$有$2^{m-n}$個。

二、空集的相關例題

若不等式組$\begin{cases}x-1>a^2\\x-4<2a\end{cases}$的解集非空,則實數$a$的取值范圍是___

A.$(-1,3)$

B.$(-∞,-1)∪(3, +∞)$

C.$(-3,1) $

D.$(-∞,-3)∪(1+∞)$

答案:A

解析:由題意$\begin{cases}x>a^2+1,\\x<2a+4,\end{cases}$$∴a^2+1<2a+4$,即$a^2-2a-3<0$,解得$-1<a<3$。故選A。

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