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一元二次不等式的解法和定義

2021-02-28 14:29:13文/陳宇航

一元二次不等式的解法和定義

一、一元二次不等式的解法和定義

1、一元二次不等式

我們把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式。

2、解一元二次不等式的一般步驟

(1)對不等式變形,使一端為零且二次項系數大于零;

(2)計算判別式$\mathit{Δ}$;

(3)當$\mathit{Δ}≥0$時,求出相應的一元二次方程的根;

(4)根據二次函數圖象寫出一元二次不等式的解集。

3、二次函數$y=ax^2+bx+c(a>0)$的解

當$\mathit{Δ}>0$時,一元二次方程有$ax^2+bx+c=0(a>0)$兩個不同的實根(設為$x_1$,$x_2$且$x_1<x_2$),此時$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集為${x|x<x_1$或$x>x_2}$;

當$\mathit{Δ}=0$時,一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$有兩個相等的實根(設為$x_1=x_2$,且$x_1=x_2=-\frac{2a})$,此時$ax^2+bx+c=0(a>0)$的解集為$\begin{Bmatrix}x\Bigg|x≠-\dfrac{2a} \end{Bmatrix}$;

當$\mathit{Δ}<0$時,一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$無實根,此時$ax^2+bx+c>0(a>0)$的解集為$\mathbf{R}$。

二、一元二次不等式的解法的相關例題

已知關于$x$的一元次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集為$(1,2)$ ,則關于$x$的一元二次不等式$cx^2+bx+a<0$的解集為___

A.$(1,2)$

B.$(-2,-1)$

C.$(\frac{1}{2},1) $

D.$(-∞,1)∪(2,+∞)$

答案:C

解析:由于關于$x$的一元二次不等式$ax^2+bx+c<0$的解集為$(1,2)$, 所以$\begin{cases}a>0,\\1+2=-\frac{a},\\1×2=\frac{c}{a},\end{cases}$所以$\begin{cases}a>0,\\b=-3a<0,\\c=2a>0,\end{cases}$所以不等式$cx^2+bx+a<0$等價于$2ax^2-3ax+a<0$,即$2x^2-3x+1=$$(2x-1)(x-1)<0$,解得$\frac{1}{2}<x<1$。故選C。

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