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真子集的定義和集合子集的個數

2021-02-28 14:23:55文/陳宇航

真子集的定義和集合子集的個數

一、真子集的定義和集合子集的個數

1、真子集:如果集合$A\subseteq B$,但存在元素$x∈B$,且$x\notin A$,則稱集合$A$是集合$B$的真子集,記作$A\subsetneqq B$(或$B\supsetneqq A$)。

2、子集:一般地,對于兩個集合$A$,$B$,如果集合$A$中任意一個元素都是集合$B$中的元素,我們就說這兩個集合有包含關系,稱集合$A$為集合$B$的子集,記作$A\subseteq B$(或$B\supseteq A$),讀作“$A$含于$B$”(或“$B$包含$A$”)。

3、空集:不含任何元素的集合叫空集,記為$\varnothing$??占侨魏渭系淖蛹?,任何一個集合是它本身的子集,空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等:如果集合$A$是集合$B$的子集($A\subseteq B$),且集合$B$是集合$A$的子集$(B\subseteq A)$,此時,集合$A$與集合$B$中的元素是一樣的,因此,集合$A$與集合$B$相等,記作$A=B$。

5、集合子集的個數

(1)若集合$A$中有$n$個元素,則集合$A$有$2^n$個子集,$2^n-1$個真子集,$2^n-1$個非空子集,$2^n-2$個非空真子集。

(2)若集合$A$含有$n(n≥1)$個元素,集合$C$含有$m(m≥1)$個元素$(m≥n)$,且$A\subseteq B\subseteq C$,則符合條件的集合$B$有$2^{m-n}$個。

二、真子集的相關例題

已知集合$A={x|x=4n+1,n∈\mathbf{Z}}$,$ B={x|x=4n-3$,$n∈\mathbf{Z}}$,$C={x=8n+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,則$A$,$ B$,$ C$的關系是___

A.$C$是$B$的真子集、$B$是$A$的真子集

B.$A$是$B$的真子集、$B$是$C$的真子集

C.$C$是$A$的真子集、$A=B$

D.$A=B=C$

答案:C

解析:$∵A={x|x=4n+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,$B={x|x=4n-3=4(n-1)+1$,$n∈\mathbf{Z}}$,$∴A=B$;

故排除選項A,B;

又$∵5∈A$,$5\notin C$,

∴排除D,

故選C。

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