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非齊次線性方程組的通解

2021-02-24 08:33:55文/葉丹

非齊次線性方程組的通解=齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的一個特解(η=ζ+η*)。非齊次線性方程組是常數項不全為零的線性方程組。

非齊次線性方程組的通解

非齊次線性方程組解法

非齊次線性方程組Ax=b的求解步驟:

(1)對增廣矩陣B施行初等行變換化為行階梯形。若R(A)<R(B),則方程組無解。

(2)若R(A)=R(B),則進一步將B化為行最簡形。

(3)設R(A)=R(B)=r;把行最簡形中r個非零行的非0首元所對應的未知數用其余n-r個未知數(自由未知數)表示,并令自由未知數分別等于C1,C2……,Cn-r,即可寫出含n-r個參數的通解。

非齊次線性方程組解的判別

如果系數矩陣的秩小于增廣矩陣的秩,方程組無解;如果系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,方程組有解。在有解的情況下,如果系數矩陣的秩等于未知數的個數,非齊次線性方程組有唯一解。

如果系數矩陣的秩小于未知數的個數,非齊次線性方程組有無窮多解,如果有無窮多解,先求所對應齊次線性方程組的基礎解系,再求出非齊次線性方程組的一個特解。

由此可知:如果非齊次線性方程組有無窮多解,則其對應的齊次線性方程組一定有非零解,且非齊次線性方程組的全部解(通解)可表示為:對應齊次線性方程組的通解+非齊次線性方程組的特解。

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